À ma connaissance, il n'existe techniquement pas de moyen de désactiver spécifiquement et uniquement le son de l'obturateur de l'appareil photo pour les captures d'écran, mais il existe tout de même des solutions pour l'empêcher d'émettre ce son :
Une chose que vous pouvez faire est de basculer l'interrupteur à bascule de sourdine sur le côté de votre appareil pour être en sourdine (silencieux/vibration). Vous verrez une icône Sonnerie silencieuse sur l'écran et pourrez ressentir une vibration sur un iPhone. Après cela, il n'y aura plus de bruit de la capture d'écran (entre autres).
Sur un iPhone, si vous ne voulez pas recevoir de vibrations lorsque vous mettez le téléphone en mode silencieux, ou si vous voulez laisser le téléphone en mode silencieux sans recevoir de vibrations, vous pouvez aller dans Réglages > Son et désactiver l'option "Vibration en mode silencieux". Le téléphone ne vibrera alors plus et ne fera plus de bruit. Cependant, vous n'entendrez pas non plus de sons de notification ou de vibrations, et vous risquez donc de manquer certaines alertes. Dans ce cas, il est préférable de mettre l'interrupteur sur silencieux juste avant de faire une capture d'écran (l'appareil n'émettra alors aucun bruit dû aux vibrations), puis de le remettre sur normal après la capture d'écran.
Une autre solution, si le son de l'obturateur de l'appareil photo ne vous dérange pas mais que vous souhaitez simplement qu'il soit plus silencieux, est que dans Réglages > Sons, vous pouvez faire glisser Sonnerie et Alertes au minimum. L'appareil émettra toujours des sons, mais de manière plus discrète. Mais là encore, vous risquez de ne pas entendre la sonnerie de votre téléphone dans certaines situations, car il sera silencieux.
Edit : J'ai remarqué que sur iOS 10.3, lorsque vous basculez l'interrupteur de sourdine alors que la caméra est ouverte, il n'y a pas de vibration. Vous pouvez donc activer le mode silencieux avant de prendre la photo, puis revenir au mode normal lorsque vous avez terminé.