En creusant un peu plus, j'ai découvert que le problème venait du processus kbd qui utilisait des tonnes de mémoire lorsque j'essayais d'écrire quelque chose. Une recherche Google avec "processus kbd" m'a apporté beaucoup de liens utiles :
iOS et iCloud : La rupture des données iCloud provoque le plantage constant du processus kbd et épuise la batterie
https://discussions.apple.com/thread/5521035
http://forums.macrumors.com/showthread.php?t=1615584
Ce qui a marché pour moi, c'est de désactiver et réactiver le lecteur iCloud.
EDIT : Il s'est avéré que j'ai été assez stupide pour désactiver iCloud Drive et ne plus le réactiver ! Je l'utilise de cette façon depuis environ 2 mois.
Mais j'ai la solution ! (Mac seulement) Je fouillais dans mes fichiers iCloud à ~/Library/Mobile Documents/ et j'ai trouvé qu'il y a un dossier avec le même nom que le processus maléfique.
~/Library/Mobile Documents/com~apple~TextInput
Je l'ai ouvert et j'ai décidé de lire quelques fichiers, unzip ici, convertir plist là (voir https://stackoverflow.com/questions/15179410/how-to-open-icloud-cdt-file ) et voilà : dans un seul fichier, le processus kbd a essayé d'insérer un mot 147 000 fois. Cette entrée était une correction de "mongolao" à "mongolão" (idiome du sud du Brésil en portugais pour un usage vulgaire du mot "attardé"), ironique. Comme il y avait beaucoup de ces fichiers, je me dis que le problème est que, d'une manière ou d'une autre, le processus kbd est tombé dans une faille, et j'ai décidé de supprimer tout le contenu du fichier com~apple~TextInput dossier.
J'ai attendu quelques minutes pour que mon mac télécharge les modifications, j'ai désactivé et réactivé iCloud Drive sur mon iPhone et...... fonctionne ! Si je ne reviens pas ici pour modifier cette réponse, c'est que c'était ça ! (ou j'ai encore oublié quelque chose de vraiment stupide)
Oh, et n'essayez même pas de démarrer le Finder pour faire cela, soyez un bon utilisateur de stackExchange et utilisez uniquement le Terminal. (Conseil de pro : Yosemite casse le dossier iCloud dans Finder)
EDIT 3 (3 mois plus tard) :
tldr : exécutez ce qui suit dans le terminal de votre Mac :
cd ~/Library/Mobile\ Documents/com~apple~TextInput
rm -rf *
