Comment réparer ma table de partition après l'avoir abîmée en essayant d'installer Linux Mint ?

J'ai essayé d'installer Linux Mint à côté de mon système d'exploitation OS X Yosemite. J'ai un Macbook Air sorti mi 2013 avec un SSD de 128gb et 4gb de mémoire.

Pour atteindre mon objectif, j'ai d'abord ajouté une partition à l'aide de l'Utilitaire de disque. Pour ce faire, j'ai simplement retiré 30 Go de ma partition "Macintosh HD" et je l'ai laissée en tant qu'"Espace libre".

L'installation de Linux Mint à partir d'une clé USB a échoué et j'ai voulu récupérer mon ancienne table de partition. En essayant de le faire, quelque chose a mal tourné et j'ai dû utiliser Internet System Recovering pour obtenir une nouvelle copie d'OS X 10.8.5, que j'utilise actuellement.

Le problème est le suivant : lorsque j'appelle depuis le terminal : diskutil list j'obtiens :

L'application Utilitaire de disque s'affiche :

Vous avez peut-être déjà deviné ma question : où sont passés mes 30 Go d'espace ssd manquants ? Lorsque je lance l'Utilitaire de disque, je ne peux que réduire la taille de la partition Macintosh HD. Il n'y a aucune possibilité d'effacer la partition disk0s5, puisque : "MediaKit rapporte qu'il n'y a pas de partition de ce type".

Toutes mes données sont stockées sur un disque externe, je n'ai donc aucune mesure à prendre en termes de perte de données... En fait, j'ai déjà "perdu" les données que j'avais sur mon ordinateur.

J'apprécierais vraiment votre aide !

Mise à jour 1 :

Après avoir exécuté la commande

sudo gpt -r show /dev/disk0 

J'obtiens le résultat suivant :

      start       size  index  contents
          0          1         PMBR
          1          1         Pri GPT header
          2         32         Pri GPT table
         34          6         
         40     409600      1  GPT part - C12A7328-F81F-11D2-BA4B-00A0C93EC93B
     409640  173751112      2  GPT part - 48465300-0000-11AA-AA11-00306543ECAC
  174160752    1269544      3  GPT part - 426F6F74-0000-11AA-AA11-00306543ECAC
  175430296    1269536      4  GPT part - 48465300-0000-11AA-AA11-00306543ECAC
  176699832   56370760         
  233070592    3905536      5  GPT part - 0657FD6D-A4AB-43C4-84E5-0933C84B4F4F
  236976128       2015         
  236978143         32         Sec GPT table
  236978175          1         Sec GPT header

Je dois ajouter que mon objectif est d'affecter à nouveau tout l'espace à la partition HD de mon Macintosh... Merci d'avance.