J'ai eu exactement le même problème. Mon Mac, mon iPhone ou mon iPad ne se connectait pas car l'icône disparaissait à des intervalles aléatoires.
Vous pouvez essayer de brancher un câble Ethernet, cependant cela ne semble pas résoudre le problème de manière permanente.
Ce que j'ai fait a été d'obtenir un nouveau routeur qui prend en charge les bandes double (2,4 GHz et 5 GHz). L'iPhone utilise 2,4 GHz et mon Mac et mon AppleTV utilisent 5 GHz. Il y avait moins de trafic de cette façon (grâce à la répartition des bandes sur différents appareils) à travers le routeur et l'AppleTV est toujours détecté. Cela a forcé l'option AirPlay à apparaître toujours sur mes appareils.
Vous pouvez consulter ma question et d'autres réponses possibles ici L'option AirPlay a disparu?